Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $10$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $- 8$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Somma $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ - 1 & 2 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2

Calcola $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (3 - λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Espandi $(2 - λ) (3 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (2 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ (3 - λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.2

Sottrai $3 λ$ da $- 2 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - 2) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.2

Sottrai $2$ da $6$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- 5 λ + λ^{2} + 4) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.3

Riordina $- 5 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (1 (3 - λ) - (- 1 \cdot 1)) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Moltiplica $3 - λ$ per $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (3 - λ - (- 1 \cdot 1)) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (3 - λ - - 1) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (3 - λ + 1) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (1 \cdot 2 - - (2 - λ))$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - - (2 - λ))$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 1 \cdot 2 - - λ))$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 2 - - λ))$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- - λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 2 + 1 λ))$

Passaggio 1.5.4.2.1.4.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 2 + λ))$

Passaggio 1.5.4.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - - 2 - λ)$

Passaggio 1.5.4.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 + 2 - λ)$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (4 - λ)$

Passaggio 1.5.4.2.3

Riordina $4$ e $- λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.1

Espandi $(4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 5 λ) + 4 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 4 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.2.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.2.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.2.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.2.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.2.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ \cdot λ - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.2.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.2.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.2.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ^{2} - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} + 5 λ^{2} - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.2.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} + 5 λ^{2} - 4 λ - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.3

Somma $4 λ^{2}$ e $5 λ^{2}$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 4 λ - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.4

Sottrai $4 λ$ da $- 20 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} - 10 (- λ) - 10 \cdot 4 - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 10 \cdot 4 - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.7

Moltiplica $- 10$ per $4$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 - 8 (- λ + 4)$

Passaggio 1.5.5.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 - 8 (- λ) - 8 \cdot 4$

Passaggio 1.5.5.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 + 8 λ - 8 \cdot 4$

Passaggio 1.5.5.1.10

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 + 8 λ - 32$

Passaggio 1.5.5.2

Somma $- 24 λ$ e $10 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 14 λ + 16 - λ^{3} - 40 + 8 λ - 32$

Passaggio 1.5.5.3

Somma $- 14 λ$ e $8 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 6 λ + 16 - λ^{3} - 40 - 32$

Passaggio 1.5.5.4

Sottrai $40$ da $16$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 24 - 32$

Passaggio 1.5.5.5

Sottrai $32$ da $- 24$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 56$

Passaggio 1.5.5.6

Sposta $- 6 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - λ^{3} - 6 λ - 56$

Passaggio 1.5.5.7

Riordina $9 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Scomponi $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

Passaggio 1.7.1.1.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

$- {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 56$

Passaggio 1.7.1.1.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- - 8 + 9 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 56$

Passaggio 1.7.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$8 + 9 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 56$

Passaggio 1.7.1.1.3.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$8 + 9 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 - 56$

Passaggio 1.7.1.1.3.5

Moltiplica $9$ per $4$ .

$8 + 36 - 6 \cdot - 2 - 56$

Passaggio 1.7.1.1.3.6

Somma $8$ e $36$ .

$44 - 6 \cdot - 2 - 56$

Passaggio 1.7.1.1.3.7

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$44 + 12 - 56$

Passaggio 1.7.1.1.3.8

Somma $44$ e $12$ .

$56 - 56$

Passaggio 1.7.1.1.3.9

Sottrai $56$ da $56$ .

$0$

Passaggio 1.7.1.1.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56}{λ + 2}$

Passaggio 1.7.1.1.5

Dividi $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$ per $λ + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$9 λ^{2}$

$6 λ$

$56$

Passaggio 1.7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$

Passaggio 1.7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- λ^{3} - 2 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $11 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					+	$11 λ^{2}$	+	$22 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $11 λ^{2} + 22 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$

Passaggio 1.7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 28 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$

Passaggio 1.7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$
							-	$28 λ$	-	$56$

Passaggio 1.7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 28 λ - 56$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$
							+	$28 λ$	+	$56$

Passaggio 1.7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$
							+	$28 λ$	+	$56$
										$0$

Passaggio 1.7.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

Passaggio 1.7.1.1.6

Scrivi $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$ come insieme di fattori.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ e la cui somma è $b = 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1.1.1

Scomponi $11$ da $11 λ$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.1.1.2

Riscrivi $11$ come $4$ più $7$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(λ + 2) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(λ + 2) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- λ + 4$ .

$(λ + 2) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(λ + 2) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

Passaggio 1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ + 2 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

Passaggio 1.7.3

Imposta $λ + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Imposta $λ + 2$ uguale a $0$ .

$λ + 2 = 0$

Passaggio 1.7.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 2$

Passaggio 1.7.4

Imposta $- λ + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Imposta $- λ + 4$ uguale a $0$ .

$- λ + 4 = 0$

Passaggio 1.7.4.2

Risolvi $- λ + 4 = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- λ = - 4$

Passaggio 1.7.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- λ = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- λ = - 4$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.7.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.7.4.2.2.2.2

Dividi $λ$ per $1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.7.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$λ = 4$

Passaggio 1.7.5

Imposta $λ - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Imposta $λ - 7$ uguale a $0$ .

$λ - 7 = 0$

Passaggio 1.7.5.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 7$

Passaggio 1.7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(λ + 2) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ vera.

$λ = - 2, 4, 7$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $2$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.7

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.8

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 4 + 2 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Somma $4$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $10$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.3

Somma $- 8$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.5

Somma $2$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.7

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.8

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 + 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.9

Somma $3$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 & 5 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{10}{6} & \frac{- 8}{6} & \frac{0}{6} \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 4 - \frac{5}{3} & 1 + \frac{4}{3} & 0 - 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + \frac{5}{3} & 5 - \frac{4}{3} & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{11}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ \frac{3}{7} \cdot 0 & \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} & \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} & \frac{3}{7} \cdot 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{11}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{11}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{11}{3} \cdot 0 & \frac{11}{3} - \frac{11}{3} \cdot 1 & \frac{11}{3} - \frac{11}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{11}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & - \frac{4}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 3 z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 z \\ - z \\ z \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 4$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.5

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.6

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.7

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.8

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.9

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 4 - 4 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $10$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Somma $- 8$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Sottrai $4$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 - 4 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

Sottrai $4$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & - 8 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & - 8 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - 2 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ \frac{0}{10} & \frac{10}{10} & \frac{- 8}{10} & \frac{0}{10} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{4}{5}) & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3}{5} z = 0$

$y - \frac{4}{5} z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3 z}{5} \\ \frac{4 z}{5} \\ z \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 7$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.2

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.3

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.4

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.5

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.6

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.7

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.8

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.9

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

Passaggio 5.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 4 - 7 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3

Simplify each element.

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Passaggio 5.2.3.1

Sottrai $7$ da $4$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $10$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.3

Somma $- 8$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.5

Sottrai $7$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.7

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.8

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 - 7 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.9

Sottrai $7$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 2 & - 4 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Find the null space when $λ = 7$ .

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Passaggio 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 & 0 \\ 1 & - 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 10 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 1 & - 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 1 & - 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 1 - 1 & - 5 + \frac{10}{3} & 1 - \frac{8}{3} & 0 - 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - \frac{10}{3} & - 4 + \frac{8}{3} & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} (- \frac{5}{3}) & - \frac{3}{5} (- \frac{5}{3}) & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{10}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{10}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{10}{3} \cdot 0 & - \frac{10}{3} + \frac{10}{3} \cdot 1 & \frac{8}{3} + \frac{10}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{10}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 6 z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 z \\ - z \\ z \end{array}]$

Passaggio 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$